Warum 80% Auslastung ein Problem ist

Die Auslastung ρ ist das Verhältnis der Ankunftsrate (λ) zur Bedienrate (μ). Sie zeigt, welcher Anteil der Kapazität des Schalters genutzt wird. Bei ρ = 0.5 kommt ein Kunde an, während der Schalter noch 50% der Zeit untätig ist. Bei ρ = 0.9 ist der Schalter 90% der Zeit beschäftigt.

Das ist kein Fehler! Mit ρ = 0.8 ist eine leere Warteschlange zu etwa 20% der Zeit zu erwarten (P(0) = 1 - ρ). Die Simulation zeigt die Schwankungen — manchmal kommt ein Kunde, wenn der Schalter gerade frei ist, manchmal bauen sich Warteschlangen auf. Der laufende Durchschnitt nähert sich mit mehr Messungen dem Theoriewert. Queues atmen bei hoher Auslastung!

Das M/M/1 Modell (Markov/Markov/1 Server) beschreibt ein System mit exponentiell verteilten Ankunfts- und Bedienzeiten. Die Schlüsselformeln: Mittlere Warteschlangenlänge Lq = ρ²/(1-ρ), Mittlere Wartezeit Wq = ρ/(μ(1-ρ)), Mittlere Kundenanzahl im System L = ρ/(1-ρ), Mittlere Verweildauer W = 1/(μ-λ). Entscheidend: Der Nenner (1-ρ) sorgt dafür, dass alle Kennzahlen gegen Unendlich streben, wenn ρ sich 1 nähert.